Утвердительный ответ на этот вопрос следует из возможности перевода любого натурального числа в двоичную систему счисления, вид числа в которой, согласно формуле:

a = a_nP_n+ a_n-1P_n-1+ ... + a₁P+ a0 = a_na_n-1...a₁a₀ (P-ричная система счисления)

и есть сумма степеней 2, включая нулевую степень, т.е. единицу.

Заметим, что рассматривать можно только системы счисления с основанием больше 5, так как в системах с основанием больше 5, т.к. в системах с основанием 2,3,4 и 5 цифра 5 в алфавите отсутствует, и выражение не имеет смысла. В системах с P = 6, 7, 8, 9 — 5p + 5p > 10p, а при P = 11, 12, ... — 5p + 5p < 10p, т.к. всегда 10p = P . Таким образом, равенство достигается лишь в десятичной системе счисления. В системах счисления с основанием P > 5 (P 10) рассматриваемое неравенство выполняется.

При решении этой задачи мы можем рассматривать лишь те системы счисления, в которых основание P > 4, т.к. во всех них цифра 4 входит в алфавит. Дважды прибавляя 1 к двойке, мы всегда получим 4. Следовательно, исходное равенство достигается при любом P > 4.

Несмотря на то, что вид всех цифр в подобной системе счисления неизвестен, данное задание выполнить можно. Так как 234 = 10234, то прибавив к нему 1, получим 235 = 11234.

Добавление справа одного нуля к любому числу, записанному в P-ричной системе счисления, соответствует умножению на 10p = P, значит в нашем случае возрастет в 6 раз.

Нет. Например, наличие последнего нуля в P-ричной записи числа говорит о его делимости на P, а не на 10. Аналогично, в системах счисления с четными основаниями, четность последней цифры в записи числа, как и в десятичной системе, указывает на четность самого числа, а в остальных системах счисления это не так.

Согласно формуле a = a_nP_n+ a_n-1P_n-1+ ... + a₁P+ a₀ = a_na_n-1...a₁a₀ (P-ричная система счисления) получаем уравнение P² + 7P+ 3 = 371. Полученное уравнение имеет один целый положительный корень - 16, значит, искомой является шестнадцатеричная система счисления.

Предположим, что такая система счисления существует, обозначим ее основание через P. Тогда справедлива следующая система уравнений относительно P

3P⁰ + 4P⁰ = 7P⁰,

3P⁰ х 4P⁰ = P+ 3P⁰,

3P + 9P⁰ + 2P + 9P⁰ = 7P.

Из двух последних уравнений следует, что P = 9.

Но в позиционной системе счисления с основанием 9 нет цифры "9", т.е. в этой системе счисления нельзя записать числа 29 и 39.

Значит, такой системы счисления не существует.

Запишем этот пример на сложение столбиком:

  1х01

+  1хх

———

10100

Отметим, что вместо "х" может стоять либо "0", либо "1", так как мы работаем в двоичной системе счисления.

Будем анализировать проведенную операцию поразрядно, начиная с самого младшего (нулевого) разряда.

0-ой разряд:

1 + х =0, так как значение младшего разряда суммы ноль, то произошел перенос в следующий разряд, следовательно, вместо "х" надо поставить "1": 1 +1 =10₂.

1-й разряд:

учитывая перенос из 0-го разряда, запишем 0 + х + 1 перенос = 0. Очевидно, что вместо х надо поставить "1", так как и здесь произошел перенос в следующий разряд. Получаем 1 + 1 = 10₂, т. е. ноль в текущем разряде и перенос единиц в следующий разряд.

2-ой разряд:

учитывая перенос из 1-го разряда, запишем х + 1 + 1 перенос = 1. Т.к. 1 + 1 = 10₂, а в результате стоит единица, а не ноль, следовательно, вместо "х" должна стоять "1" и опять произошел перенос единицы в следующий разряд.

3-ий разряд:

учитывая перенос из 2-го разряда, запишем 1 + 1 перенос = х. Т.к. 1 + 1 = 10₂, то "х" заменяем на "0" и запоминаем, что произошел перенос единицы в следующий разряд.

4-ый разряд:

ни в одном из слагаемых нет значащей цифры в 4-ом разряде, "1", стоящая в 4-ом разряде суммы получена за счет переноса, и мы верно восстановили недостающие цифры..

Ответ: 1101 + 111 = 10100.

Для решения этой задачи надо, во-первых, выписать все числа, попадающие в указанный интервал, а во-вторых, знать, какие числа являются четными.

Выпишем все числа, попадающие в указанный интервал:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20.

Число называется четным, если оно делится на два без остатка. Чтобы выполнить операцию деления в пятеричной системе счисления, надо иметь таблицу умножения в пятеричной системе. Но эту задачу можно решить гораздо проще. Так как числа выписаны подряд в порядке возрастания и последовательность чисел начинается с нечетного числа, то каждое второе число будет четным.

Ответ: 2, 4, 11, 13, 20.

Поскольку надо найти 1999-ю цифру после запятой, достаточно перевести в четверичную систему счисления дробную часть, то есть число 0,45. Имеем:

0,45 х 4 = 1,8

0,8   х 4 = 3,2

0,2   х 4 = 0,8

0,8   х 4 = 3,2 (дробная часть совпала с уже встречавшейся ранее).

Получили бесконечную дробь с периодом (30) и непериодической частью, равной 1.

Таким образом, 0,45 = 0,1(30)4.

Найдем теперь 1999-ю цифру этого числа. Первая цифра после запятой - единица; остаются еще 1998 цифр, находящихся в периодической части. Число 1998 четное, т.е. последовательность из двух цифр (30) повторится целое число раз. Поэтому 1999-ой цифрой будет 0.

В троичной системе счисления используется цифры 0, 1, 2. Самое большое число, которое можно высветить на экране калькулятора 2222.

22223 = 8010. Значит, самое большое десятичное число с которым может работать калькулятор - 80.