Длинная арифметика
Программа, демонстрирующая действия с длинными числами
Теория работы с длинными числами и примеры реализации арифметических действий
Известно, что арифметические действия, выполняемые компьютером в ограниченном числе разрядов, не всегда позволяют получить точный результат. Более того, мы ограничены размером (величиной) чисел, с которыми можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например,
30! == 265252859812191058636308480000000?
В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.
Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной" арифметики.
Организация работы с "длинными" числами во многом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно записать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.
Существуют и другие представления "длинных" чисел. Рассмотрим одно из них.
Представим наше число
30! = 265252859812191058636308480000000
в виде:
30! =2- (104)8+6525• (104)7+2859• (104) +
+ 8121- (104)5 + 9105(104)4+
+ 8636- (104)3 + 3084 • (104)2 +
+ 8000- (104)1 + 0000- (104)0.
Это представление наталкивает на мысль о массиве, представленном в табл. 1.
|
Номер элемента в массиве А |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Значение |
9 |
0 |
8000 |
3084 |
8636 |
9105 |
8121 |
2859 |
6525 |
2 |
Мы можем считать, что наше "длинное" число представлено в 10000—10 системе счисления (десятитысячно-десятичная система счисления, приведите аналогию с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа.
Возникают вопросы. Что за 9 в А [ 0 ] , почему число хранится "задом наперед" ? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста.
Примечание. Мы работаем с положительными числами!
Первая задача. Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных.
Const MaxDig=1000;
{Максимальное количество цифр — четырехзначных!}
Osn=10000; {Основание нашей системы счисления, в элементах массива храним четырехзначные числа}
Type Tlong=Array[0..MaxDig] Of Integer;
{Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе?}
Алгоритм ввода "длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.
Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную ch) отражено в табл. 2
|
А[0] |
А[1] |
А[2] |
А[3] |
ch |
Примечание |
|
3 |
674 |
851 |
23 |
- |
Конечное состояние |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
Начальное состояние |
|
1 |
2 |
0 |
0 |
3 |
1-й шаг |
|
1 |
23 |
0 |
0 |
8 |
2-й шаг |
|
1 |
238 |
0 |
о |
5 |
3-й шаг |
|
2 |
385 |
2 |
0 |
1 |
4-й шаг: старшая цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2] |
|
2 |
851 |
23 |
0 |
6 |
5-й шаг |
|
2 |
516 |
238 |
0 |
7 |
6-й шаг |
|
3 |
167 |
385 |
2 |
4 |
7-й шаг |
|
3 |
574 |
851 |
23 |
|
|
Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы).
1. В А [ 0 ] храним количество задействованных (ненулевых) элементов массива А — это уже очевидно. 2. При обработке каждой очередной цифры входного числа старшая цифра элемента массива с номером i становится младшей цифрой числа в элементе i + 1, а вводимая цифра будет младшей цифрой числа из А [ 1 ] . В результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед".
Примечание (методическое): Можно ограничиться этим объяснением и разработку процедуры вынести на самостоятельное задание. Можно продолжить объяснение. Например, выписать фрагмент текста процедуры перенос старшей цифры из A[i]B младшую цифру А [ i +1 ], т.е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:
For i:=A[0] DownTo 1 Do Begin
A[i+l]:=A[i+l]+(Longint(A[i])*10) Div Osn;
A[i]:=(LongInt(A[i])*10) Mod Osn;
End;
Пусть мы вводим число 238516 74 и первые 6 цифр уже разместили "задом наперед" в массиве А. В символьную переменную ch считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в А [ 1 ] . Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента.
|
i |
А[1] |
А[2] |
А[3] |
ch |
|
2 |
516 |
238 |
0 |
7 |
|
2 |
516 |
380 |
2 |
|
|
1 |
160 |
385 |
2 |
|
После этого остается только добавить текущую (считанную в ch ) цифру "длинного" числа к А [ 1 ] и изменить значение А [ 0 ].
В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:
Procedure ReadLong(Var A:Tlong);
Var ch:char;i:Integer;
Begin
FillChar(A,SizeOf(A) , 0) ;
Read(ch);
While Not(ch In ['0'..'9']) Do Read(ch);
{пропуск не цифр во входном файле}
While ch In ['0'..'9'] Do Begin
For i:=A[0] DownTo 1 Do Begin
{"протаскивание" старшей цифры в числе из A[i]
в младшую цифру числа из A[i+l]}
A[i+l]:=A[i+l]+(LongInt(A[i])*10) Div Osn;
A[i]:=(LongInt(A[i])*10) Mod Osn;
End;
A[1]:=A[l]+Ord(ch)-Ord('0' ) ;
{добавляем младшую цифру к числу из А[1]}
If A[A[0]+1]>0 Then Inc(A[0]);
{изменяем длину, число задействованных
элементов массива А}
Read(ch) ;
End;
End;
Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.
Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве А представлено следующим образом:
|
А[0] |
А[1] |
А[2] |
А[3] |
|
3 |
3274 |
58 |
1284 |
При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид:
Procedure WriteLong(Const A:Tlong);
Var ls,s:String;
i:Integer;
Begin
Str (Osn Div 10,Is) ;
Write(A[A[0]];{выводим старшие цифры числа}
For i:=A[0]-l DownTo 1 Do Begin
Str(A[i],s) ;
While Length(s)<Length(Is) Do s:='0'+s;
{дополняем незначащими нулями}
Write (s) ;
End;
Writein;
End;
Третья задача. Предварительная работа по описанию способа хранения, вводу и выводу "длинных" чисел выполнена.
У нас есть все необходимые "кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел. Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo.
Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид:
Var A,B,C:Tlong;
Begin
Assign(Input,'Input.txt'); Reset(Input) ;
ReadLong(A);ReadLong(B) ;
Close (Input) ;
SumLongTwo(A,B,C);]
Assign(Output,'Output.txt') ;
Rewrite(Output);
WriteLong(C) ;
Close(Output) ;
End.
Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А = 870613029451, В = 3475912100517461.
|
i |
A[i] |
B[i] |
С[1] |
С[2] |
С[3] |
С[4] |
|
1 |
9451 |
7461 |
6912 |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
1302 |
51 |
6912 |
1354 |
0 |
|
|
3 |
8706 |
9121 |
6912 |
1354 |
7827 |
1 |
|
4 |
0 |
3475 |
6912 |
1354 |
7827 |
3476 |
Алгоритм имитирует привычное сложение столбиком, начиная с младших разрядов. И именно для простоты реализации арифметических операций над "длинными числами используется машинное представление "задом наперед".
Результат: С = 3476782713546912.
Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел.
Procedure SumLongTwo(A,B:Nlong; Var C:Tlong);
Var i,k:Integer;
Begin
FillChar(C,SizeOf (C),0) ;
If A[0]>B[0] Then k:=A[0] Else k:=B[0];
For i:=l To k Do
Begin С [i+1]:=(C[i]+A[i]+B[i]) Div Osn;
C[i]:=(C[i]+A[i]+B[i]) Mod Osn;
{Есть ли в этих операторах ошибка?}
End;
If C[k+l]=0 Then C[0]:=k Else C[0]:=k+l;
End;
Четвертая задача. Реализация операций сравнения для "длинных" чисел (А=В, А<В, А>В, А<В, А>В).
Function Eq(A,B:TLong):Boolean;
Var i:Integer;
Begin
Eq:=False;
If A[0]OB[0] Then Exit
Else Begin
i:=l;
While (i<=A[0]) And (A[i]=B[i]-) Do Inc(i);
Eq:==(i=A[0]+l) ;
End;
End;
Реализация функции А>В также прозрачна.
Function More(A,B:Tlong):Boolean;
Var i:Integer;
Begin If A[0]<B[0] Then More:=False
Else If A[0]>B[0] Then More:=True
Else Begin
i : =A [ 0 ] ;
While (i>0) And (A[i]=B[i]) Do Dec(i);
If i=0 Then More:=False
Else If A[i]>B[i] Then More:=True
Else More:=False;
End;
End;
Остальные функции реализуются через функции Eq и More.
Function Less(A,B:Tlong):Boolean;{A<B}
Begin
Less:=Not(More(A,B) Or Eq(A,B));
End;
Function More_Eq(A,B:Tlong):Boolean;
Begin
More_Eq:=More(A,B) Or Eq(A,B);
End;
И, наконец, последняя функция А<В.
Function Less_Eq (A, B:Tlong) : Boolean;
Begin
Less_Eq:-Not(More(A,B)) ;
End;
Для самостоятельного решения может быть предложена следующая, более сложная, задача. Требуется разработать функцию, которая выдает 0, если А больше В, 1, если А меньше В, и 2 при равенстве чисел. Но сравнение должно быть выполнено с учетом сдвига. О чем идет речь? Поясним на примере. Пусть А равно 56784, а В — 634. При сдвиге числа В на 2 позиции влево функция должна сказать, что В больше А, без сдвига, что А больше В. Другой пример. При А равном 56700, а В — 567 и сдвиге 2 функция должна "сказать" , что числа равны. Решение может иметь следующий вид:
Function More(Const А, В: Tlong;
Const sdvig: Integer): Byte;
Var i: Integer;
Begin
If A[0]>(B[0]+sdvig) Then More:=0
Else If A[0]<(B[0]+sdvig) Then More:=l
Else Begin
i:=A[0];
While (i>sdvig) And
(A[i]=B[i-sdvig]) Do Dec(i);
If i=sdvig Then Begin
More:=0;
{совпадение чисел с учетом сдвига}
For i:=l To sdvig Do If A[i]>0 Then Exit;
More:=2;
{числа равны, "хвост" числа А равен нулю}
End
Else More:=Byte(A[i]<B[i-sdvig]) ;
End;
End;
Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа Longlnt.
Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.
Procedure Mul(Const A: TLong;Const К:
Longlnt;Var С: TLong) ;
Var i: Integer;
{результат - значение переменной С}
Begin
FillChar (С, SizeOf (С), 0) ;
If K=0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль}
Else Begin
For i:==l To A[0] Do Begin
C[i+l]:=(LongInt(A[i])*K+C[i]) Div Osn;
C[i]:=(LongInt(A[i])*K +C[i]) Mod Osn;
End;
If C[A[0]+1]>0 Then C[0]:=A[0]+1
Else C[0]:=A[0] ;
{определяем длину результата}
End;
End;
Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига.
Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге.
Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем.
Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд. Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее.
Procedure Sub (Var A: TLong;
Const B: TLong;
Const sp: Integer);
Var i,j: Integer;
{из А вычитаем В с учетом сдвига sp, результат вычитания в А}
Begin
For i:=l To B[0] Do Begin Dec(A[i+sp], B[i]);
j:=i;{*}
{реализация сложного заимствования}
while (A[j+sp]<0) and (j<=A[0}) Do
Begin{*}
Inc(A[j+sp], Osn) ;
Dec(A[j+sp+l]);Inc(j) ; {*}
end; {*}
{Реализация простого заимствования.
Если операторы, отмеченные *, заменить
на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то,
по понятным причинам, логика не будет работать
при всех исходных данных. Можно сознательно сделать
ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"}
{If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn);
Dec (A[i+sp+l]);End;}
End;
i : =A [ 0 ] ;
While (i>l) And (A[i]=0) Do Dec(i);
A[0]:=i;
{корректировка длины результата операции}
End;
Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 100000001000000000000, число В - 2000073859998.
Седьмая задача. Деление двух длинных чисел, т.е. нахождение целой части частного и остатка.
Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это:
Procedure Long_Div_Long(Const А, В: TLong;
Var Res, Ost: TLong);
Begin
FillChar(Res, SizeOf(Res), 0);Res[0]:=1;
FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0);0st[0]:=1;
Case More(A, B, 0) Of
0: Begin MakeDel(A, B, Res, Ost);
End;
{А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру}
1: Begin Ost:=A; End;{А меньше В}
2: Begin Res[l]:=l; End;{А равно В}
End;
End;
А дальше? Дальше начинаются проблемы. Делить столбиком нас научили в школе. Например:
1000143123567 | 73859998
- 73859998 | 13541 (Целая часть частного)
261543143
- 221579994
399631495
- 369299990
303315056
- 295439992
78750647
- 73859998
4890649 (Остаток)
Что мы делали? На каждом этапе в уме подбирали цифру (1, 3, 5 и т.д.), такую, что произведение этой цифры на делитель дает число меньшее, но наиболее близкое к числу... Какому? Это трудно сказать словами, но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер. Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В • 10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам. Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому.
|
Down |
Up |
С=В • ( (Down+Up) Div 2) |
Ost=564 |
|
0 |
10 |
315 = 63 • ( (0 + 10) Div 2) |
C<Ost |
|
5 |
10 |
441 = 63 • ( (5 + 10) Div 2) |
C<Ost |
|
7 |
10 |
504 = 63 • ( (7 + 10) Div 2) |
C<Ost |
|
8 |
10 |
567 = 63 • ( (8 + 10) Div 2) |
C<Ost |
|
8 |
9 |
504 = 63 • ( (8 + 9) Div 2) |
C<Ost |
Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления—разность
между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), если больше.
Усложним пример. Пусть А равно 27856, а -В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.
|
Down |
Up |
С |
Ost=27856 |
|
0 |
10000 |
1770000 |
С>Ost |
|
0 |
5000 |
885000 |
C>OOst |
|
о |
2500, |
442500 |
C>Ost |
|
0 |
1250 |
221250 |
C>Ost |
|
0 |
625 |
110448 |
C>Ost |
|
0 |
312 |
55224 |
C>Ost |
|
о |
156 |
27612 |
C<Ost |
|
78 |
156 |
41418 |
C>Ost |
|
78 |
117 |
34338 |
C>Ost |
|
78 |
97 |
30798 |
C>Ost |
|
78 |
87 |
29028 |
C>Ost |
|
78 |
82 |
28320 |
C>Ost |
|
78 |
80 |
27966 |
C>Ost |
|
78 |
79 |
27612 |
C<Ost |
Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т.е. 244.
Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше.
Function FindBin(Var Ost: Tlong;Const В:
TLong;Const sp: Integer): Longint;
Var Down, Up: Word;
C: TLong;
Begin
Down:=0;Up:=0sn;
{основание системы счисления}
While Up-l>Down Do Begin
{Есть возможность преподавателю сделать
сознательную ошибку. Изменить условие
цикла на Up>Down. Результат -
зацикливание программы.}
Mul(В, (Up+Down) Div 2, С);
Case More(Ost, C, sp) Of
0: Down:=(Down+Up) Div 2;
1: Up:== (Up+Down) Div 2;
2: Begin Up:=(Up+Down) Div 2;
Down:=Up; End;
End;
End;
Mul(B, (Up+Down) Div 2, C);
If More (Ost.C,0)=0 Then Sub(Ost, C, sp)
{находим остаток от деления}
Else begin Sub (C,Ost,sp); Ost:=C;
end;
FindBin:=(Up+Down) Div 2;
{целая часть частного}
End;
Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35. Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000 ? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием компьютер — пусть он вбивает гвозди.
Procedure MakeDel(Const А, В: TLong;
Var Res, Ost: TLong);
Var sp: Integer;
Begin
Ost:=A;
{первоначальное значение остатка}
sp : =А [ 0 ] -В [ 0 ] ;
If More(А, В, sp)=l Then Dec(sp);
{B*Osn>A, в результате одна цифра}
Res [0]:=sp+l;
While sp>=0 Do Begin
{находим очередную цифру результата}
Res [sp+1]:=FindBin(Ost, B, sp);
Dec(sp) ;
End;
End;